第1回：多変数関数の微分 — 偏微分・全微分・連鎖律・ヤコビアン | Portfolio
HOME / アウトプット / ノート / 第1回：多変数関数の微分 — 偏微分・全微分・連鎖律・ヤコビアン NOTE-019f2765 · 2026-08-18 JST 第1回：多変数関数の微分 — 偏微分・全微分・連鎖律・ヤコビアン NOTE-019f2765 更新: 2026-07-03 物理
一般相対性理論の学び直し 数学 多変数関数の微分 偏微分 全微分 連鎖律 ヤコビアン
第1回：多変数関数の微分 — 偏微分・全微分・連鎖律・ヤコビアン
本記事は「一般相対性理論の学び直し」シリーズの第1回です。シリーズ全体の到達点は、アインシュタイン方程式を自力で導き、シュバルツシルト解から水星の近日点移動（約 43″/世紀）を計算することです。第1回では多変数関数の微分を扱います。
0. この回で学び直すもの
本記事を読み終えたとき、次のことができる状態を目指します。
偏微分を定義に立ち返って理解し、「何を固定しているか」を常に意識できる。
「偏微分が存在すること」と「微分可能であること」が別物であることを、定義と反例で説明できる。
全微分を最良の線形近似 として捉え、d f = ∑ i ∂ f ∂ x i d x i df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i df = ∑ i ∂ x
i
∂ f
d
x i
連鎖律を座標変換の文脈で使い、微分演算子 ∂ / ∂ x i \partial/\partial x^i ∂ / ∂ x i d x i dx^i d x i 互いに逆の行列 で変換することを導ける。
ヤコビ行列・ヤコビアンを定義し、積分の変数変換公式（絶対値付き）を正しく適用できる。
1. 記法の約束
n n n ( x 1 , x 2 , … , x n ) (x^1, x^2, \dots, x^n) ( x 1 , x 2 , … , x n ) 上付き添字 i i i x x x ( x ) 2 (x)^2 ( x ) 2 考える関数は、開集合 U ⊂ R n U \subset \mathbb{R}^n U ⊂ R n f : U → R f : U \to \mathbb{R} f : U → R F : U → R m F : U \to \mathbb{R}^m F
総和は当面すべて ∑ \sum ∑
2. 偏微分
2.1 定義 関数 f ( x 1 , … , x n ) f(x^1,\dots,x^n) f ( x 1 , … , x n ) a = ( a 1 , … , a n ) a=(a^1,\dots,a^n) a = ( a 1 , … , a n ) x i x^i x i
∂ f ∂ x i ( a ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i + h , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) h \frac{\partial f}{\partial x^i}(a) \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(a^1,\dots,a^{i}+h,\dots,a^n) - f(a^1,\dots,a^n)}{h} ∂ x i ∂ f ( a ) = h → 0 lim h f ( a 1 , … , a i + h すなわち、x i x^i x i x i x^i x i f f f a a a x i x^i x i
2.2 「何を固定するか」を明示する 偏微分の定義には「他の変数を固定する」という前提が含まれています。変数どうしが独立ならこの前提は暗黙で構いませんが、変数の間に関係があり得る文脈では、何を固定したかを明示しなければ量が定まりません。 これは形式的な注意ではなく、物理で頻繁に問題になります。
たとえば熱力学では、内部エネルギー U U U T T T V V V T T T p p p
( ∂ U ∂ T ) V , ( ∂ U ∂ T ) p \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}, \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{p} ( ∂ T ∂ U ) V , ( ∂ T ∂ U ) p のように書きます。本シリーズの幾何学パートでは座標は互いに独立にとるので通常この明示は不要ですが、「偏微分は固定条件込みで定義される」という事実は重要です。
2.3 高階偏微分と順序交換（シュワルツの定理） 偏微分を繰り返せば高階の偏微分が得られます。異なる変数で微分する混合偏微分 については、その順序を入れ替えてよいかが問題になります。答えは条件付きで「よい」です。
ここで f ∈ C n f \in C^n f ∈ C n f f f n n n C 1 C^1 C 1 C ∞ C^\infty C ∞
関数 f f f ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} ∂ x i ∂ x j ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i} ∂ x j ∂ x i ∂ 2 f f ∈ C 2 f \in C^2 f ∈ C 2
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i . \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^i}. ∂ x i ∂ x j
連続性の仮定は本質的で、これを外すと順序交換が成り立たない反例が作れます（混合偏微分が原点で連続にならないように設計された関数が古典的な例として知られています）。本シリーズで扱う関数は通常なめらか（C ∞ C^\infty C ∞
3. 全微分と微分可能性 ここが第1回で最も重要な節です。多変数では、偏微分がすべて存在しても「微分可能」とは限りません。 この区別は、微分可能性（なめらかさ）を前提とするあらゆる議論の土台になるので、ここで押さえておきます。
3.1 微分可能性の定義 1変数の微分 f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) a a a h ∈ R h\in\mathbb{R} h ∈ R スカラー ）を加えた点 a + h a+h a + h f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r ( h ) f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h) f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r r ( h ) r(h) r ( h ) f ( a ) + f ′ ( a ) h f(a)+f'(a)h f ( a ) + f ′ ( a ) h 誤差項 （残差）です。
多変数では増分がベクトルになるため、変位を h = ( h 1 , … , h n ) ∈ R n h=(h^1,\dots,h^n)\in\mathbb{R}^n h = ( h 1 , … , h n ) ∈ R n a a a R n \mathbb{R}^n R n a a a h h h n n n h h h 線形写像 L : R n → R L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} L : R n → R
関数 f : U → R f:U\to\mathbb{R} f : U → R a a a 微分可能 であるとは、変位ベクトル h ∈ R n h\in\mathbb{R}^n h ∈ R n a a a a + h a+h a + h L : R n → R L:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} L : R n → R
f ( a + h ) = f ( a ) + L ( h ) + r ( h ) , r ( h ) ∥ h ∥ → 0 ( ∥ h ∥ → 0 ) f(a+h) = f(a) + L(h) + r(h), \qquad \frac{r(h)}{\|h\|} \to 0 \ \ (\|h\| \to 0) f ( a + h ) = f ( a ) + L ( h ) +
が成り立つことをいう。r ( h ) r(h) r ( h ) f ( a ) + L ( h ) f(a)+L(h) f ( a ) + L ( h ) 誤差項 （残差）で、h h h ∥ h ∥ \|h\| ∥ h ∥
ここで r ( h ) / ∥ h ∥ → 0 r(h)/\|h\| \to 0 r ( h ) /∥ h ∥ → 0 r ( h ) r(h) r ( h ) ∥ h ∥ \|h\| ∥ h ∥ r ( h ) = o ( ∥ h ∥ ) r(h)=o(\|h\|) r ( h ) = o ( ∥ h ∥ ) L ( h ) L(h) L ( h ) f ( a + h ) − f ( a ) f(a+h)-f(a) f ( a + h ) − f ( a ) 最良の線形近似 であることを意味します。これは比喩ではなく、L L L
3.2 微分の成分表示 f f f a a a d f a df_a d f a h = ( 0 , … , h i , … , 0 ) h = (0,\dots,h^i,\dots,0) h = ( 0 , … , h i , … , 0 ) i i i h i h^i h i L L L i i i ∂ f / ∂ x i ( a ) \partial f/\partial x^i(a) ∂ f / ∂ x i ( a )
d f a ( h ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( a ) h i . df_a(h) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i}(a)\, h^i . d f a ( h ) = i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f ( a ) h i . 慣習として、座標 x i x^i x i d x i dx^i d x i d x i dx^i d x i h h h i i i d x i ( h ) = h i dx^i(h)=h^i d x i ( h ) = h i
d f = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i df = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i}\, dx^i df = i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f d x i と書けます。これが 全微分 の表式です。ここで強調したいのは、d f df df h h h d f ( h ) df(h) df ( h )
3.3 偏微分の存在は微分可能性を保証しない 多変数特有の落とし穴がここです。次の関数を考えます。
f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \\[2mm] 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} f ( x , y ) = ⎩ ⎨ ⎧ x 2 + y 2 x y 0 ( x , 原点での偏微分は、2.1 の定義に従えば求められます（ここでの h h h
∂ f ∂ x ( 0 , 0 ) = lim h → 0 f ( h , 0 ) − f ( 0 , 0 ) h = lim h → 0 0 − 0 h = 0 , \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{0-0}{h} = 0, ∂ x ∂ f ( 0 , 0 ) = h → 0 lim h f ( h , 0 ) − f ( 0 , 0 ) = h → 0 lim h 0 − 0 = 0 , 同様に ∂ f / ∂ y ( 0 , 0 ) = 0 \partial f/\partial y(0,0)=0 ∂ f / ∂ y ( 0 , 0 ) = 0 両方の偏微分が存在します。 ところがこの f f f y = x y = x y = x
f ( x , x ) = x ⋅ x x 2 + x 2 = 1 2 f(x,x) = \frac{x\cdot x}{x^2+x^2} = \frac{1}{2} f ( x , x ) = x 2 + x 2 x ⋅ x = 2 1 で一定なので、( x , y ) → ( 0 , 0 ) (x,y)\to(0,0) ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 0 0 0 1 / 2 1/2 1/2 「偏微分は存在するが微分可能でない」例 になっています。
この例が示す教訓は明確です。偏微分は各座標軸方向という特定の方向 の変化率しか見ておらず、あらゆる方向からの近づき方を一様に制御していません。微分可能性（=最良線形近似の存在）は、すべての方向を一度に扱う、より強い条件です。
関数 f f f ∂ f / ∂ x 1 , … , ∂ f / ∂ x n \partial f/\partial x^1,\dots,\partial f/\partial x^n ∂ f / ∂ x 1 , … , ∂ f / ∂ x n a a a a a a f f f a a a f ∈ C 1 f \in C^1 f ∈ C 1 f f f
証明の要点だけ述べると、各変数を一つずつ動かして関数値の変化を分解し（1変数の平均値の定理を各段階で適用）、偏微分の連続性を使って残差が 3.1 の条件 r ( h ) = o ( ∥ h ∥ ) r(h)=o(\|h\|) r ( h ) = o ( ∥ h ∥ ) C ∞ C^\infty C ∞ 「連続な偏微分 ⇒ 微分可能」という含意の向き は正確に理解する必要があります。
3.5 幾何学的な意味（正確な言明として） f f f a a a ( n + 1 ) (n+1) ( n + 1 ) z = f ( x 1 , … , x n ) z=f(x^1,\dots,x^n) z = f ( x 1 , … , x n ) ( a , f ( a ) ) (a, f(a)) ( a , f ( a )) 接超平面 をもつことと同値です（n = 2 n=2 n = 2
z = f ( a ) + ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( a ) ( x i − a i ) z = f(a) + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i}(a)\,(x^i - a^i) z = f ( a ) + i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f ( a ) ( x i − a i ) です。右辺の1次の項がまさに全微分 d f a df_a d f a
4. 連鎖律と座標変換
4.1 曲線に沿った微分 R n \mathbb{R}^n R n γ ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) \gamma(t) = \big(x^1(t),\dots,x^n(t)\big) γ ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) f f f t ↦ f ( γ ( t ) ) t \mapsto f(\gamma(t)) t ↦ f ( γ ( t )) f f f x i ( t ) x^i(t) x i ( t ) 連鎖律 により
d d t f ( γ ( t ) ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i d t . \frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^i}\,\frac{dx^i}{dt}. d t d f ( γ ( t )) = i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f d t d x i . これは全微分の線形近似性から直ちに従います：f ( γ ( t + δ ) ) − f ( γ ( t ) ) ≈ d f ( γ ( t + δ ) − γ ( t ) ) = ∑ i ∂ f ∂ x i x ˙ i δ f(\gamma(t+\delta)) - f(\gamma(t)) \approx df\big(\gamma(t+\delta)-\gamma(t)\big) = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\,\dot{x}^i\,\delta f ( γ ( t + δ )) − f ( γ ( t )) ≈ df ( γ ( t + δ ) − γ ( t ) ) = ∑ i ∂ x i ∂ f x ˙ δ \delta δ δ → 0 \delta\to0 δ → 0 x ˙ i : = d x i / d t \dot{x}^i := dx^i/dt x ˙ i := d x i / d t
4.2 座標変換のもとでの連鎖律 いよいよ本シリーズの背骨になる場面です。同じ空間を二通りの座標で記述する状況を考えます。旧座標 x i x^i x i x ′ a x'^a x ′ a x i = x i ( x ′ 1 , … , x ′ n ) x^i = x^i(x'^1,\dots,x'^n) x i = x i ( x ′1 , … , x ′ n )
このとき、関数 f f f
∂ f ∂ x ′ a = ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ x ′ a ∂ f ∂ x i (4.1) \boxed{\;\frac{\partial f}{\partial x'^a} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial x^i}{\partial x'^a}\,\frac{\partial f}{\partial x^i}\;}
\tag{4.1} ∂ x ′ a ∂ f = i = 1 ∑ n ∂ x ′ a ∂ x i ∂ x i ∂ f ( 4.1 ) が得られます。これは「新座標での偏微分は、旧座標での偏微分の1次結合であり、係数は ∂ x i / ∂ x ′ a \partial x^i/\partial x'^a ∂ x i / ∂ x ′ a
4.3 二種類の変換則：反変と共変の起源 式（4.1）は、f f f 微分演算子そのものの変換則 と読み替えられます。
∂ ∂ x ′ a = ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ x ′ a ∂ ∂ x i . (4.2) \frac{\partial}{\partial x'^a} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial x^i}{\partial x'^a}\,\frac{\partial}{\partial x^i}.
\tag{4.2} ∂ x ′ a ∂ = i = 1 ∑ n ∂ x ′ a ∂ x i ( 4.2 ) 一方、座標 x ′ a x'^a x ′ a x ′ a = x ′ a ( x 1 , … , x n ) x'^a = x'^a(x^1,\dots,x^n) x ′ a = x ′ a ( x 1 , … , x n )
d x ′ a = ∑ i = 1 n ∂ x ′ a ∂ x i d x i (4.3) dx'^a = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial x'^a}{\partial x^i}\,dx^i
\tag{4.3} d x ′ a = i = 1 ∑ n ∂ x i ∂ x ′ a d x i ( 4.3 ) となります。ここで（4.2）と（4.3）を見比べると、現れる変換係数が異なります。
演算子 ∂ / ∂ x i \partial/\partial x^i ∂ / ∂ x i ∂ x i ∂ x ′ a \dfrac{\partial x^i}{\partial x'^a} ∂ x ′ a ∂ x i
座標微分 d x i dx^i d x i ∂ x ′ a ∂ x i \dfrac{\partial x'^a}{\partial x^i} ∂ x i ∂ x
この二つの係数行列は互いに逆行列 です。一方の成分は ∂ x i / ∂ x ′ a \partial x^i/\partial x'^a ∂ x i / ∂ x ′ a ∂ x ′ a / ∂ x i \partial x'^a/\partial x^i ∂ x ′ a / ∂ x i x j x^j x j x ′ a x'^a x ′ a x i x^i x i x i x^i x i 恒等変換 にほかなりません。したがって旧座標どうしの微分 ∂ x i / ∂ x j \partial x^i/\partial x^j ∂ x i / ∂ x j i = j i=j i = j 1 1 1 0 0 0 δ i j \delta^i{}_j δ i j
一方、連鎖律は中間の座標を通る経路でも成り立ちます。x i x^i x i x ′ a x'^a x ′ a x ′ a x'^a x ′ a x j x^j x j
∑ a = 1 n ∂ x i ∂ x ′ a ∂ x ′ a ∂ x j = ∂ x i ∂ x j = δ i j (4.4) \sum_{a=1}^{n} \frac{\partial x^i}{\partial x'^a}\,\frac{\partial x'^a}{\partial x^j} = \frac{\partial x^i}{\partial x^j} = \delta^{i}{}_{j}
\tag{4.4} a = 1 ∑ n ∂ x ′ a ∂ x i ∂ x j ∂ x ′ a = ∂ x j ∂ x i = δ i j ( 4.4 ) が成り立ちます。すなわち、行列 ( ∂ x i / ∂ x ′ a ) \big(\partial x^i/\partial x'^a\big) ( ∂ x i / ∂ x ′ a ) ( ∂ x ′ a / ∂ x i ) \big(\partial x'^a/\partial x^i\big) ( ∂ x ′ a / ∂ x i )
この違いには名前が付いています。座標微分 d x i dx^i d x i ∂ x ′ a / ∂ x i \partial x'^a/\partial x^i ∂ x ′ a / ∂ x i 反変（contravariant） 、微分演算子 ∂ / ∂ x i \partial/\partial x^i ∂ / ∂ x i ∂ x i / ∂ x ′ a \partial x^i/\partial x'^a ∂ x i / ∂ x ′ a 共変（covariant） と呼びます。以下の V i V^i V i ω i \omega_i ω i 成分 です。
反変ベクトル: V ′ a = ∑ i ∂ x ′ a ∂ x i V i , \text{反変ベクトル:}\quad V'^a = \sum_i \frac{\partial x'^a}{\partial x^i}\,V^i, 反変ベクトル : V ′ a = i ∑ ∂ x i ∂ x ′ a V i , 共変ベクトル: ω a ′ = ∑ i ∂ x i ∂ x ′ a ω i . \text{共変ベクトル:}\quad \omega'_a = \sum_i \frac{\partial x^i}{\partial x'^a}\,\omega_i. 共変ベクトル : ω a ′ = i ∑ ∂ x ′ a ∂ x i ω i . 特に、全微分の成分 ∂ f / ∂ x i \partial f/\partial x^i ∂ f / ∂ x i 共変的 に変換します。すなわち、座標を旧 x i x^i x i x ′ a x'^a x ′ a ∂ x i / ∂ x ′ a \partial x^i/\partial x'^a ∂ x i / ∂ x ′ a ω i \omega_i ω i d x i dx^i d x i d f = ∑ i ( ∂ f / ∂ x i ) d x i df = \sum_i (\partial f/\partial x^i)\,dx^i df = ∑ i ( ∂ f / ∂ x i ) d x ∂ f / ∂ x i \partial f/\partial x^i ∂ f / ∂ x i 成分 であり、d x i dx^i d x i 基底 です。この成分と基底の変換則が互いに逆なので、d f df df d f df df h h h d f ( h ) = ∑ i ( ∂ f / ∂ x i ) h i df(h) = \sum_i (\partial f/\partial x^i)\, h^i df ( h ) = ∑ i ( ∂ f / ∂ x i ) h
5. ヤコビ行列とヤコビアン
5.1 定義 写像 F = ( F 1 , … , F m ) : U ⊂ R n → R m F = (F^1,\dots,F^m) : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m F = ( F 1 , … , F m ) : U ⊂ R n → R m m × n m \times n m × n ヤコビ行列 と呼び、成分は
J a i = ∂ F a ∂ x i ( a = 1 , … , m ; i = 1 , … , n ) J^{a}{}_{i} = \frac{\partial F^{a}}{\partial x^{i}} \qquad (a=1,\dots,m;\ i=1,\dots,n) J a i = ∂ x i ∂ F a ( a = 1 , … , m ; i = 1 , … , n ) です（a a a i i i F F F d F x dF_x d F x
n = m n=m n = m
det J = det ( ∂ F a ∂ x i ) \det J = \det\!\left(\frac{\partial F^{a}}{\partial x^{i}}\right) det J = det ( ∂ x i ∂ F a ) を ヤコビアン（ヤコビ行列式） と呼びます。前節 4.3 の座標変換 x ′ a = x ′ a ( x i ) x'^a = x'^a(x^i) x ′ a = x ′ a ( x i ) ∂ x ′ a / ∂ x i \partial x'^a/\partial x^i ∂ x ′ a / ∂ x i ∂ x i / ∂ x ′ a \partial x^i/\partial x'^a ∂ x i / ∂ x ′ a
5.2 逆関数定理 ヤコビアンは、写像が局所的に可逆かどうかを判定します。
F F F a a a C 1 C^1 C 1 det J ( a ) ≠ 0 \det J(a) \neq 0 det J ( a ) = 0 a a a F F F F − 1 F^{-1} F − 1 C 1 C^1 C 1 ( d F ) − 1 \big(dF\big)^{-1} ( d F ) − 1 J − 1 J^{-1} J − 1
これにより、「det J ≠ 0 \det J \neq 0 det J = 0 det J ≠ 0 \det J \neq 0 det J = 0
5.3 積分の変数変換 ヤコビアンが積分に現れる仕組みを述べます。C 1 C^1 C 1 φ : D → φ ( D ) \varphi : D \to \varphi(D) φ : D → φ ( D ) x = φ ( u ) x = \varphi(u) x = φ ( u ) D φ D\varphi D φ φ \varphi φ d φ d\varphi d φ det D φ ≠ 0 \det D\varphi \neq 0 det D φ = 0
∫ φ ( D ) f ( x ) d n x = ∫ D f ( φ ( u ) ) ∣ det D φ ( u ) ∣ d n u . (5.1) \int_{\varphi(D)} f(x)\, d^{n}x \;=\; \int_{D} f\big(\varphi(u)\big)\, \big|\det D\varphi(u)\big|\, d^{n}u.
\tag{5.1} ∫ φ ( D ) f ( x ) d n x = ∫ D f ( φ ( u ) ) det D φ ( u ) ( 5.1 ) ここで d n x d^{n}x d n x n n n 絶対値 が付くことが重要です。ヤコビアンは微小体積要素の拡大率を表しますが、体積は符号をもたない量なので、向きの反転（det < 0 \det<0 det < 0 d n u d^n u d n u D φ D\varphi D φ ∣ det D φ ∣ d n u |\det D\varphi|\, d^n u ∣ det D φ ∣ d n u
5.4 具体例：極座標と球座標 2次元極座標 x = r cos θ , y = r sin θ x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ
D φ = ( ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ) = ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) , D\varphi = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\[2mm] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & \ \ r\cos\theta \end{pmatrix}, D φ = ∂ r ∂ x ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ) , det D φ = cos θ ⋅ r cos θ − ( − r sin θ ) ⋅ sin θ = r ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r . \det D\varphi = \cos\theta\cdot r\cos\theta - (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r. det D φ = cos θ ⋅ r cos θ − ( − r sin θ ) ⋅ sin θ = r ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r . よって変数変換公式（5.1）から面積要素は d x d y = ∣ det D φ ∣ d r d θ = r d r d θ dx\,dy = |\det D\varphi|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta d x d y = ∣ det D φ ∣ d r d θ = r d r d θ r > 0 r>0 r > 0 det D φ = r > 0 \det D\varphi = r > 0 det D φ = r > 0 r r r
3次元球座標 x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ det D φ = r 2 sin θ \det D\varphi = r^2\sin\theta det D φ = r 2 sin θ
d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ dV = r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ です。0 < θ < π 0<\theta<\pi 0 < θ < π sin θ > 0 \sin\theta>0 sin θ > 0
6. まとめ
偏微分 は他の変数を固定した1変数微分であり、固定条件込みで定義される。混合偏微分の順序交換は、2階偏微分の連続性（C 2 C^2 C 2 微分可能性 は「最良の線形近似（全微分）が存在すること」であり、偏微分の存在より強い条件である。偏微分がすべて存在しても微分可能でない例（x y / ( x 2 + y 2 ) xy/(x^2+y^2) x y / ( x 2 + y 2 ) C 1 C^1 C 1 全微分 d f = ∑ i ∂ f ∂ x i d x i df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i df = ∑ i ∂ x i 連鎖律 から、微分演算子 ∂ / ∂ x i \partial/\partial x^i ∂ / ∂ x i d x i dx^i d x i 互いに逆の行列 で変換する。前者と同じ変換を共変、後者と同じ変換を反変と呼ぶ。この区別が、添字の上下（反変・共変）という考え方の出発点である。ヤコビアン det J \det J det J det J ≠ 0 \det J\neq0 det J = 0
7. 到達チェック 以下を白紙から（この記事を見ずに）再現できれば、この回は合格です。
微分可能性の定義（f ( a + h ) = f ( a ) + L ( h ) + r ( h ) f(a+h)=f(a)+L(h)+r(h) f ( a + h ) = f ( a ) + L ( h ) + r ( h ) r ( h ) / ∥ h ∥ → 0 r(h)/\|h\|\to0 r ( h ) /∥ h ∥ → 0 L L L
「偏微分が存在するが微分可能でない」関数を一つ挙げ、その理由（方向による極限の不一致）を説明できる。
座標変換のもとで ∂ / ∂ x i \partial/\partial x^i ∂ / ∂ x i d x i dx^i d x i
極座標の面積要素 r d r d θ r\,dr\,d\theta r d r d θ
8. 演習 演習 1. 3.3 の関数 f ( x , y ) = x y / ( x 2 + y 2 ) f(x,y)=xy/(x^2+y^2) f ( x , y ) = x y / ( x 2 + y 2 ) f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 0 0 0 f f f
解答の要点： 偏微分は定義式に f ( h , 0 ) = 0 , f ( 0 , h ) = 0 f(h,0)=0,\ f(0,h)=0 f ( h , 0 ) = 0 , f ( 0 , h ) = 0 0 0 0 y = m x y=mx y = m x f ( x , m x ) = m / ( 1 + m 2 ) f(x,mx)=m/(1+m^2) f ( x , m x ) = m / ( 1 + m 2 ) m m m m = 1 m=1 m = 1 1 / 2 1/2 1/2 m = 0 m=0 m = 0 0 0 0
演習 2. 3次元球座標のヤコビアンが r 2 sin θ r^2\sin\theta r 2 sin θ
解答の要点： x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ 3 × 3 3\times3 3 × 3 z z z ( cos θ , − r sin θ , 0 ) (\cos\theta,\ -r\sin\theta,\ 0) ( cos θ , − r sin θ , 0 ) ϕ \phi ϕ det = r 2 sin θ \det = r^2\sin\theta det = r 2 sin θ
演習 3. 2次元で、極座標 → \to → ∂ x i / ∂ r , ∂ x i / ∂ θ \partial x^i/\partial r,\ \partial x^i/\partial\theta ∂ x i / ∂ r , ∂ x i / ∂ θ → \to → ∂ r / ∂ x , ∂ θ / ∂ x \partial r/\partial x,\ \partial\theta/\partial x ∂ r / ∂ x , ∂ θ / ∂ x ∑ a ( ∂ x i / ∂ x ′ a ) ( ∂ x ′ a / ∂ x j ) = δ i j \sum_a (\partial x^i/\partial x'^a)(\partial x'^a/\partial x^j)=\delta^i{}_j ∑ a ( ∂ x i / ∂ x
解答の要点： r = x 2 + y 2 , θ = arctan ( y / x ) r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=\arctan(y/x) r = x 2 + y 2 , θ = arctan ( y / x ) ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) \begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix} ( cos θ sin θ − r sin θ r r r 1 / r 1/r 1/ r 1 1 1
発展演習（任意）. numpy と matplotlib で、平面上の格子を極座標のグリッド（等 r r r θ \theta θ r r r r r r
次回 第2回は ベクトル場と場の微分（勾配・発散・回転） です。スカラー場・ベクトル場に対する微分演算子 g r a d , d i v , r o t \mathrm{grad},\ \mathrm{div},\ \mathrm{rot} grad , div , rot
:
U →
R m
,
…
,
a n
)
−
f
(
a 1
,
…
,
a n
)
∂ 2
f
=
∂ x j ∂ x i ∂ 2 f .
(
h
)
r
(
h
)
,
∥ h ∥ r ( h )
→
0 ( ∥ h ∥ →
0 )
h
( h 1 ) 2 + ⋯ + ( h n ) 2 \sqrt{(h^1)^2+\cdots+(h^n)^2} ( h 1 ) 2 + ⋯ + ( h n ) 2 微分（全微分）
y
)
=
(
0
,
0
)
( x , y ) = ( 0 , 0 )
i
δ
∂ x i ∂
.
′ a
i
i
d n
u
.
∂ r
∂ y
∂ θ ∂ x ∂ θ ∂ y
=
∂ f
d
x i
共変的
′
a
)
(
∂
x ′ a
/
∂
x j
)
=
δ i j
r cos θ
)
赤神 青空（Sora Akagami）